Question

10．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{1-x}$；
（2）y=2x+$\sqrt{1-x}$．

Answer 1

分析 （1）對原函數(shù)兩邊平方便可得到${y}^{2}=3-2\sqrt{-{x}^{2}-x+2}$，配方便可得到$-{x}^{2}-x+2=-（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，從而可以得出y²的范圍，從而得出y的范圍，即得出該函數(shù)的值域；
（2）可換元去根號：令$\sqrt{1-x}=t$，t≥0，從而可以解出x，帶入原函數(shù)即可得到y(tǒng)=-2t²+t+2，這樣配方求該二次函數(shù)在t≥0上的值域即可．

解答 解：（1）${y}^{2}=（\sqrt{x+2}-\sqrt{1-x}）^{2}=3-2\sqrt{（x+2）（1-x）}$=$3-2\sqrt{-{x}^{2}-x+2}$；
$-{x}^{2}-x+2=-（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$；
∴$0≤-{x}^{2}-x+2≤\frac{9}{4}$；
∴$0≤\sqrt{-{x}^{2}-x+2}≤\frac{3}{2}$；
0≤y²≤3；
∴$-\sqrt{3}≤y≤\sqrt{3}$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋篬$-\sqrt{3}，\sqrt{3}$]；
（2）令$\sqrt{1-x}=t，t≥0$，則x=1-t²；
∴y=2-2t²+t=$-2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{17}{8}$$≤\frac{17}{8}$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?-∞，\frac{17}{8}$]．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念，平方的方法及換元的方法去函數(shù)解析式中的根號，換元后要確定新變量的范圍，配方求二次函數(shù)值域的方法．