Question

已知函數(shù)f(x)=x2+2xsinθ-1，x∈[-

3

2

，

1

2

]．
（1）若θ=

π

6

，求f（x）的最大值和最小值．
（2）若f（x）在[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)函數(shù)，且θ∈[0，2π），求θ的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）θ=

π

6

時，f（x）=x²+x-1，f′（x）=2x+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)的最值．
（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的圖象的對稱軸為x=-sinθ，由于f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，得-sinθ≤-

3

2

，由此能求出θ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵θ=

π

6

，函數(shù)f(x)=x2+2xsinθ-1，  x∈[-

3

2

，

1

2

]．
∴f（x）=x²+x-1，f′（x）=2x+1，
由f′（x）=0，得x=-

1

2

，
∵f（-

1

2

）=

1

4

-

1

2

-1=-

5

4

f（-

3

2

）=

3

4

-

3

2

-1=-

3

2

-

1

4

，
f（

1

2

）=

1

4

+

1

2

-1=-

1

4

，
∴x=

1

2

時，f（x）的最大值為-

1

4

，x=-

1

2

時，f（x）最小值為-

5

4

．
（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的圖象的對稱軸為x=-sinθ，
由于f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，
所以-sinθ≤-

3

2

，
即sinθ≥

3

2

，又∵θ∈[0，2π）
所求θ的取值范圍是[

π

3

，

2π

3

]．

點評：本題考查函數(shù)的最值的求法，考查角的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)知識的合理運用．