Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b為實(shí)數(shù)）有極值，且在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的極小值為1，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)a=

1

2

令g（x）=

f′(x+1)

x

-3，x∈（0，+∞），求證：gⁿ（x）-xⁿ-

1

xn

≥2ⁿ-2（n∈N₊）．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)在x=1處的切線與直線平行得f′（1）=1解出a與b的關(guān)系式，由函數(shù)有極值得方程f′（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，所以利用根的判別式大于零解出a的范圍即可；
（2）存在．令f′（x）=0得到函數(shù)的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，然后分區(qū)間討論函數(shù)的增減性，得到函數(shù)的極小值令其等于1，討論得到a的值存在，求出a即可；
（3）把a(bǔ)=

1

2

代入到g（x）=

f′(x+1)

x

-3中化簡(jiǎn)得到g（x）的解析式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其結(jié)論成立即可．

解答：解：∵f′（x）=x²+2ax-b，∴f′（1）=1+2a-b，
又因?yàn)楹瘮?shù)在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行，所以在x=1處的切線的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①
∵f（x）有極值，故方程f′（x）=x²+2ax-b=0有兩個(gè)不等實(shí)根∴△=4a²+4b＞0∴a²+b＞0②
由①．②可得，a²+2a＞0∴a＜-2或a＞0
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）存在a=-

8

3

∵f′（x）=x²+2ax-b，令f′（x）=0∴x₁=-a-

a2+2a

，x₂=-a+

a2+2a

∴f（x）_極小=f（x₂）=

1

3

x23+ax₂²-2ax₂+1=1
∴x₂=0或x₂²+3ax₂-6a=0
若x₂=0，即-a+

a2+2a

=0，則a=0（舍）
若x₂²+3ax₂-6a=0，又f′（x₂）=0，∴x₂²+2ax₂-2a=0，
∴ax₂-4a=0
∵a≠0∴x₂=4
∴-a+

a2+2a

=4
∴a═

8

3

＜-2
∴存在實(shí)數(shù)a=-

8

3

，使得函數(shù)f（x）的極小值為1．
（3）∵a=

1

2

，f′（x）=x²+x-1，∴f′（x+1）=x²+3x+1，∴

f′(x+1)

x

-3=

x2+1

x

=x+

1

x

∴g（x）=x+

1

x

，x∈（0，+∞）．
證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=0，右邊=0，原式成立，
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即(x+

1

x

)k-x^k-

1

xk

≥2^k-2
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=(x+

1

x

)k+1-x^k+1-

1

xk+1

≥（x+

1

x

）（2^k-2+x^k+

1

xk

）-（x^k+1+

1

xk+1

）=（x+

1

x

）（2^k-2）+x^k-1+

1

xk-1

≥2^k+1-4+2=2^k+1-2
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)原式也成立
綜上當(dāng)n∈N₊時(shí)，gⁿ（x）-xⁿ-

1

xn

≥2ⁿ-2成立．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，理解斜率相等時(shí)兩直線互相平行，以及會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式．