Question

將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個(gè)結(jié)論：
①AC⊥BD； 
②△ACD是等邊三角形；
③AB與平面BCD成60°的角；   
④AB與CD所成的角為60°；
其中正確結(jié)論是    （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：作出此直二面角的圖象，由圖形中所給的位置關(guān)系對(duì)四個(gè)命題逐一判斷，即可得出正確結(jié)論．
解答：解：作出如圖的圖象，其中A-BD-C=90°，E是BD的中點(diǎn)，可以證明出∠AED=90°即為此直二面角的平面角
對(duì)于命題①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命題正確；
對(duì)于命題②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的邊長(zhǎng)，故△ACD是等邊三角形，此命題正確；
對(duì)于命題③AB與平面BCD所成的線面角的平面角是∠ABE=45°，故AB與平面BCD成60°的角不正確；
對(duì)于命題④可取AD中點(diǎn)F，AC的中點(diǎn)H，連接EF，EH，F(xiàn)H，由于EF，F(xiàn)H是中位線，可證得其長(zhǎng)度為正方形邊長(zhǎng)的一半，而EH是直角三角形的中線，其長(zhǎng)度是AC的一半即正方形邊長(zhǎng)的一半，故△EFH是等邊三角形，由此即可證得AB與CD所成的角為60°；
綜上知①②④是正確的
故答案為①②④
點(diǎn)評(píng)：本題考查與二面角有關(guān)立體幾何中線線之間的角的求法，線面之間的角的求法，以及線線之間位置關(guān)系的證明方法．綜合性較強(qiáng)，對(duì)空間立體感要求較高．