Question

10．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-mx
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求證：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$＞ln2（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由于函數(shù)f（x）=ln（1+x）-mx的導(dǎo)函數(shù)含參數(shù)m，故需對(duì)m分類討論，得到當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-m＞0，此時(shí)f（x）沒(méi)有極值；當(dāng)m＞0時(shí)，解不等式f′（x）＞0與f′（x）＜0，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的極值．
（2）由（1）知m=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），得到$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$＞ln（1+$\frac{1}{n+1}$）+ln（1+$\frac{1}{n+2}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n+（n+1）}$），整理上式，即可得證．

解答 解：∵f（x）=ln（1+x）-mx，（x＞-1）
∴f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-m，（x＞-1）
（1）①當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）為（-1，+∞）上的增函數(shù)，∴f（x）沒(méi)有極值；
②當(dāng)m＞0時(shí)，由f′（x）＞0得-1＜x＜$\frac{1}{m}$-1；由f′（x）＜0得x＞$\frac{1}{m}$-1．
則函數(shù)f（x）在（-1，$\frac{1}{m}$-1）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{m}$-1，+∞）上單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=$\frac{1}{m}$-1時(shí)，f（x）有極大值，但無(wú)極小值．
綜上可知，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）沒(méi)有極值；
當(dāng)m＞0時(shí)，當(dāng)x=$\frac{1}{m}$-1時(shí)，f（x）有極大值，但無(wú)極小值．
（2）由（1）知m=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令x=$\frac{1}{k+1}$，得ln（1+$\frac{1}{1+k}$）＜$\frac{1}{1+k}$，
∴$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$
＞ln（1+$\frac{1}{n+1}$）+ln（1+$\frac{1}{n+2}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n+（n+1）}$）
=ln（$\frac{n+2}{n+1}$）+ln（$\frac{n+3}{n+2}$）+…+ln（$\frac{n+n+1+1}{n+（n+1）}$）
=ln$\frac{2n+2}{n+1}$=ln2．
∴$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$＞ln2（n∈N^*）＞ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與函數(shù)的單調(diào)性，在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)要注意函數(shù)的定義域，并且利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，這是高考考查的重點(diǎn)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．