Question

已知直線l₁：5x-2y+3m（3m+1）=0和直線l₂：2x+6y-3m（9m+20）=0，求：
（1）兩直線l₁、l₂交點的軌跡方程；
（2）m取何值時，直線l₁與l₂的交點到直線4x-3y-12=0的距離最短，最短距離是多少？

Answer 1

考點：軌跡方程,點到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）由l₁、l₂的方程組成方程組，解得交點的參數(shù)方程，消參數(shù)可得交點軌跡的普通方程；
（2）由點到直線的距離公式求出交點到直線4x-3y-12=0的距離d，則d是參數(shù)m的函數(shù)，利用配方法求最值．

解答： 解：（1）聯(lián)立

5x-2y+3m(3m+1)=0   ① 2x+6y-3m(9m+20)=0  ②

，
①×3+②得，17x=51m，解得x=3m，代入①得，y=

9

2

m2+9m．
∴兩直線l₁、l₂交點的軌跡方程為

x=3m y= 9 2 m2+9m

．
消去參數(shù)m得，y=

1

2

x2+3x，
∴兩直線l₁、l₂交點的軌跡方程為y=

1

2

x2+3x；
（2）設(shè)兩直線交點到直線4x-3y-12=0的距離為d，
則d=

|4•3m-3•( 9 2 m2+9m)-12|

42+(-3)2

=

3

10

|9m2+10m+8|
=

27

10

|(m+

5

9

)2+

47

81

|，
∴當(dāng)m=-

5

9

時，距離d有最小值為：

27

10

×

47

81

=

47

30

．

點評：本題考查了利用消參數(shù)法求曲線的軌跡方程，考查了點到直線的距離公式，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．