Question

10．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\sqrt{{x}^{2}+5}$；（2）y=x²-4x+6，1≤x＜5；
（3）y=-x⁴+x²$+\frac{1}{4}$，x∈R；（4）y=2x-$\sqrt{x-1}$；（5）y=$\frac{2x+1}{3x+5}$．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性求解，
（2）根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解
（3）換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，注意新元的范圍
（4）變形y=2（x-1）-$\sqrt{x-1}$+2利用換元法求解
（5）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)值域求解．

解答 解：（1）y=$\sqrt{{x}^{2}+5}$；
∵x²≥0，
∴x²+5≥5，
即y$≥\sqrt{5}$
值域?yàn)椋篬$\sqrt{5}$，+∞）
（2）y=x²-4x+6，1≤x＜5；
對(duì)稱軸為：x=2，y_小=2²-2×4+6=2
利用二次函數(shù)的對(duì)稱性得出：y_大=5²-4×5+6=11
值域?yàn)椋篬2，11]
（3）y=-x⁴+x²$+\frac{1}{4}$，x∈R，
設(shè)t=x²，t≥0
y=t²+t$+\frac{1}{4}$，x∈R
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出：最小值為$\frac{1}{4}$
故值域?yàn)椋籟$\frac{1}{4}$，+∞）
（4）y=2x-$\sqrt{x-1}$=2（x-1）-$\sqrt{x-1}$+2
設(shè)t=$\sqrt{x-1}$≥0，
y=2t²-t+2．
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出：對(duì)稱軸x=$\frac{1}{4}$
最小值為：2×$\frac{1}{16}$$-\frac{1}{4}$+2=$\frac{15}{8}$，
故值域?yàn)椋篬$\frac{15}{8}$，+∞）
（5）y=$\frac{2x+1}{3x+5}$=$\frac{2}{3}$$-\frac{7}{3x+5}$
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出：
y=$\frac{7}{3x+5}$值域?yàn)椋海?∞，0）∪（0+∞）
y=$\frac{2}{3}$$-\frac{7}{3x+5}$值域?yàn)椋海?∞，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$+∞）
故值域?yàn)椋海?∞，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了常見函數(shù)的值域的求解方法，換元法，二次函數(shù)等求解，難度不大，屬于中檔題，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)最重要．