【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）求函數(shù)在的最小值；

（2）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最小值取法，最后代入求最小值，（2）作差函數(shù)，利用零點(diǎn)條件化為一元函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究一元函數(shù)單調(diào)性，確定其最大值小于零，最后根據(jù)原函數(shù)單調(diào)性證得不等式.

試題解析：（1），的定義域?yàn)?/span>，且，∴

當(dāng)時(shí)，，所以在遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，

且，，因，

函數(shù)在的最小值為.

由（1）知滿足，且，，

，由題意可知

又由（1）可知在遞減，故，所以，，

則

令，

則 ，

當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以

因 ，

即，所以當(dāng)時(shí)，，即

因?yàn)?/span>，，在上單調(diào)遞增，所以，故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是：（是參數(shù)，是常數(shù)）.以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)訄A與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）設(shè)Q為曲線C上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作OQ的平行線交曲線C于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn), 求△QMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】祖暅?zhǔn)俏覈R梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家，是祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容易.”這里的“冪”指水平截面的面積.“勢(shì)”指高，這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等。于是可把半徑相等的半球(底面在下)和圓柱(圓柱高等于半徑)放在同一水平面上，圓柱里再放一個(gè)半徑和高都與圓柱相等的圓錐(錐尖朝下)，考察圓柱里被圓錐截剩的立體，這樣在同一高度用平行平面截得的半球截面和圓柱中剩余立體截得的截面面積相等，因此半球的體積等于圓柱中剩余立體的體積.設(shè)由橢圓所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體(如圖，稱為“橢球體”)，請(qǐng)類比以上所介紹的應(yīng)用祖暅原理求球體體積的做法求這個(gè)橢球體的體積.其體積等于________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，矩形中，，平面，，為上的點(diǎn)，且平面.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的多面體中，底面四邊形是菱形，，，相交于，，在平面上的射影恰好是線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革，學(xué)校將高一年級(jí)部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個(gè)班，每班各40人，甲班按原有模式教學(xué)，乙班實(shí)施教學(xué)方法改革.經(jīng)過一年的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，將甲、乙兩個(gè)班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個(gè)班學(xué)生的平均成績均在，按照區(qū)間，，，，進(jìn)行分組，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分(百分制)為優(yōu)秀.

完成表格，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”；

(2)從乙班，，分?jǐn)?shù)段中，按分層抽樣隨機(jī)抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言，記來自發(fā)言的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解甲、乙兩種產(chǎn)品的質(zhì)量，從中分別隨機(jī)抽取了10件樣品，測(cè)量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克），如圖所示是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖.規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此中元素的含量不小于18毫克時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品.

（1）試用樣品數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率；

（2）若從甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品中各隨機(jī)抽取1件，抽到的2件優(yōu)等品中，“甲產(chǎn)品的含量28毫克優(yōu)等品必須在內(nèi)，且乙產(chǎn)品的含量28毫克優(yōu)等品不包含在內(nèi)”為事件，求事件的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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