（2010•馬鞍山模擬）若a＞0，b＞0，且a+b=1，則3
a+1
+4
b+1
的最大值是
5
3
5
3
．
分析：根據(jù)a＞0，b＞0，且a+b=1，可得（a+1）+（b+1）=3，（a+1＞1，b+1＞1），可令
a+1
=
3
cosθ，
b+1
=
3
sinθ，利用三角函數(shù)中的輔助角公式即可解決問題．
解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴（a+1）+（b+1）=3，（a+1＞1，b+1＞1），
令
a+1
=
3
cosθ，
b+1
=
3
sinθ，
則3
a+1
+4
b+1
=3
3
cosθ+4
3
sinθ=
3
（3cosθ+4sinθ）=5
3
sin（θ+φ）（其中tanφ=
3
4
）．
故答案為：5
3
．
點評：本題考查基本不等式，難點在于由“a+b=1，可得（a+1）+（b+1）=3，即(
a+1
)2+(
b+1
)2=3”從而進(jìn)行三角換元，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．
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x=sinα+cosα
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（-1，1）
（-1，1）
．

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∫
x
0
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