Question

10．橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$（a＞b），過右焦點F且斜率為2$\sqrt{6}$的直線與橢圓及y軸交于B，M點，B分$\overrightarrow{MF}$所成的比為2，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 依題意F（c，0），其中c²=a²-b²，通過設直線BM的方程：y=$2\sqrt{6}$（x-c）可知M（0，-$2\sqrt{6}$c），通過設B（p，q）可知q=$2\sqrt{6}$（p-c），利用B分$\overrightarrow{MF}$所成的比為2可知$\overrightarrow{MB}$=2$\overrightarrow{BF}$，從而（p-0，q+$2\sqrt{6}$c）=2（c-p，0-q），計算可知p=$\frac{2}{3}$c、q=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$c，將其代入$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{q}^{2}}{^{2}}$=1、化簡可知24•$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$-4•$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=29，利用換元法、計算可知$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{4}{3}$，從而$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，利用e²=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$計算即得結論．

解答 解：如圖，F（c，0），其中c²=a²-b²，
設直線BM的方程為：y=$2\sqrt{6}$（x-c），則M（0，-$2\sqrt{6}$c），
設B（p，q），則q=$2\sqrt{6}$（p-c）、$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{q}^{2}}{^{2}}$=1，
∵B分$\overrightarrow{MF}$所成的比為2，
∴$\overrightarrow{MB}$=2$\overrightarrow{BF}$，即（p-0，q+$2\sqrt{6}$c）=2（c-p，0-q），
∴p=2c-2p、q+$2\sqrt{6}$c=-2q，即p=$\frac{2}{3}$c、q=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$c，
又∵$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{q}^{2}}{^{2}}$=1，即$\frac{（\frac{2}{3}c）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（-\frac{2\sqrt{6}}{3}c）^{2}}{^{2}}$=1，
∴$\frac{4（{a}^{2}-^{2}）}{9{a}^{2}}$+$\frac{24（{a}^{2}-^{2}）}{9^{2}}$=1，
化簡得：24•$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$-4•$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=29，
令t=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$，則上式可化為：24t-$\frac{4}{t}$=29，
∴24t²-29t-4=0，
解得：t=$\frac{29±\sqrt{29×29+4×24×4}}{2×24}$=$\frac{29±35}{48}$，
∴t=$\frac{4}{3}$或t=-$\frac{1}{8}$（舍），
即$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{4}{3}$，∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴e²=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的離心率，涉及向量、勾股定理等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．