Question

20．如圖，空間四邊形ABCD各邊邊長(zhǎng)均為a，M，N分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥BD；
（2）求直線AB，CD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）可連接BN，DN，根據(jù)條件便可求出BN=DN，從而△BDN為等腰三角形，從而MN⊥BD；
（2）可取BC邊的中點(diǎn)E，連接NE，ME，從而可得到∠MEN為異面直線AB，CD所成角，可求出△MNE的各邊長(zhǎng)度，這樣根據(jù)余弦定理即可求出cos∠MEN，從而求出該角．

解答 解：（1）證明：如圖，連接BN，DN，則BN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，M為BD中點(diǎn)；
∴MN⊥BD；
（2）取BC中點(diǎn)E，連接NE，ME，則NE∥AB，ME∥CD；
∴∠MEN或其補(bǔ)角為直線AB，CD所成角；
則在△MNE中，$NE=ME=\frac{a}{2}$，$MN=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$；
∴由余弦定理得：$cos∠MEN=\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{2{a}^{2}}{4}}{2•\frac{a}{2}•\frac{a}{2}}=0$；
∴∠MEN=90°；
∴AB，CD所成的角為90°．

點(diǎn)評(píng) 考查空間四邊形的定義，直角三角形邊角的關(guān)系，等腰三角形的中線也是高線，異面直線所成角的概念及求法，以及余弦定理在求三角形的內(nèi)角中的應(yīng)用．