Question

11．已知函數(shù)f（x）=xe^x，記f₀（x）=f′（x），f₁（x）=f₀′（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）且x₂＞x₁，對于下列命題：
①函數(shù)f（x）存在平行于x軸的切線；   
②$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0；
③f′₂₀₁₅（x）=xe^x+2017e^x； 
④f（x₁）+x₂＞f（x₂）+x₁．
其中正確的命題序號是①③（寫出所有滿足題目條件的序號）．

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷①正確，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷②錯；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，得到③正確，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系判斷④錯．

解答 解：對于①，因為f′（x）=（x+1）e^x，易知f′（-1）=0，函數(shù)f（x）存在平行于x軸的切線，故①正確；
對于②，因為f′（x）=（x+1）e^x，所以x∈（-∞，-1）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，x∈（-1，+∞）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0不能確定，故②錯；
對于③，因為f₁（x）=f′（x₀）=xe^x+2e^x，f₂（x）=f₁′（x）=xe^x+3e^x，…，f_n（x）=f′_n-1（x）=xe^x+（n+1）e^x，
所以f′₂₀₁₅（x）=f₂₀₁₆（x）=xe^x+2017e^x；故③正確；
對于④，f（x₁）+x₂＞f（x₂）+x₁等價于f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，構(gòu)建函數(shù)h（x）=f（x）-x，則h′（x）=f′（x）-1=（x+1）e^x-1，
易知函數(shù)h（x）在R上不單調(diào)，故④錯；
故答案為：①③．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于中檔題．