Question

2．已知函數(shù)f（x）=log₄[（4^x+1）4^kx]（k∈R）為偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設(shè)g（x）=log₄（a•2^x+1），若函數(shù)f（x）與g（x）圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由偶函數(shù)可得f（-x）=f（x），代入已知式子化簡(jiǎn)可得；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$a=\frac{{{t^2}-t+1}}{t^2}={（\frac{1}{t}）^2}-\frac{1}{t}+1$在t＞0范圍內(nèi)有唯一解，結(jié)合二次函數(shù)可得．

解答 解：（1）由題意可得函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，
由偶函數(shù)可得f（-x）=f（x），
∴l(xiāng)og₄[（4^-x+1）4^-kx]=log₄[（4^x+1）4^kx]，
∴（4^-x+1）4^-kx=（4^x+1）4^kx，
∴$\frac{\frac{1}{{4}^{x}}+1}{{4}^{x}+1}$=4^2kx=4^-x，
∴k=-$\frac{1}{2}$；
（2）由題意可得$\left\{{\begin{array}{l}{a•{2^x}+1＞0}\\{（{4^x}+1）{4^{kx}}＞0}\\{{{log}_4}[（{4^x}+1）{4^{kx}}]={{log}_4}（a•{2^x}+1）}\end{array}}\right.⇒（{4^x}+1）{4^{kx}}=（a•{2^x}+1）$，
令t=2^x（t＞0），則$a=\frac{{{t^2}-t+1}}{t^2}={（\frac{1}{t}）^2}-\frac{1}{t}+1$在t＞0范圍內(nèi)有唯一解…（8分）
可得得a≥1或a=$\frac{3}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性，涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．