Question

【題目】如圖，在幾何體A1B1D1﹣ABCD中，四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P為DD1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB1⊥PC；
（Ⅱ）求幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵幾何體A1B1D1﹣ABCD中，四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，
∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P為DD1的中點(diǎn)．
∴A（0，0，0），B1（2，0，4），
C（4，4，0），D（0，4，0），D1（0，2，4），P（0，3，2），
=（2，0，4）， =（4，1，﹣2），
=8+0﹣8=0，
∴AB1⊥PC．
（Ⅱ） =（4，0，0）， =（0，﹣1，2），| |= ，DC⊥DP，
| |=| |= =6，| |= =2 ，| |= ，
C到直線DD1的距離d=| | =4
幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積：
+ + +
= + + + +
=42+6 +2 ．
【解析】（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AB1⊥PC．（Ⅱ）幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積： + + + ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．