【題目】已知M( ,0),N(2,0),曲線C上的任意一點(diǎn)P滿足: = | |.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C與x軸的交點(diǎn)分別為A、B,過N的任意直線(直線與x軸不重合)與曲線C交于R、Q兩點(diǎn),直線AR與BQ交于點(diǎn)S.問:點(diǎn)S是否在同一直線上?若是,請(qǐng)求出這條直線的方程;若不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x,y),∵M(jìn)( ,0),N(2,0), ∴ =(﹣ ,0), =(x﹣ ,y), =(2﹣x,﹣y),
代入 = | |,化簡得 + =1,
所以曲線C的方程為 + =1;
(Ⅱ)結(jié)論:點(diǎn)S是在同一條直線x= 上.
理由如下:
(i)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x﹣2),
將直線方程代入曲線C: + =1中,
化簡得:(5+9k2)x2﹣36k2x+(36k2﹣45)=0.
設(shè)點(diǎn)R(x1 , y1),Q(x2 , y2),利用根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2= ,x1x2= ,
在曲線C的方程中令y=0得x=±3,不妨設(shè)A(﹣3,0),B(3,0),
則kBR= ,則直線BR:y= (x﹣3).
同理直線 .
由直線方程BR、AQ,消去y,
得x= = = = ,
所以點(diǎn)S是在直線x= 上;
(ii)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),則直線方程為x=2.
可得點(diǎn)S的橫坐標(biāo)為 .
綜合(i)(ii)得,點(diǎn)S是在同一條直線x= 上
【解析】(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x,y),通過M、N點(diǎn)坐標(biāo),可得 、 、 的坐標(biāo)表示,利用 = | |計(jì)算即可;(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程并代入曲線C中,化簡后利用韋達(dá)定理計(jì)算即得結(jié)論;當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),即得結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)具有性質(zhì)_____.(填入所有正確結(jié)論的序號(hào))
①最大值為,圖象關(guān)于直線對(duì)稱;
②圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;
③最小正周期為π;
④圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,公比,,.
(1)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)將已知兩式作差,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得公比,由等比數(shù)列的求和可得首項(xiàng),進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式;(2)求得bn=n,,由裂項(xiàng)相消求和可得答案.
(1)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,公比,①,
②.
②﹣①,得,則,
又,所以,
因?yàn)?/span>,所以,
所以,
所以;
(2),
所以前項(xiàng)和.
【點(diǎn)睛】
裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列,c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和,常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和,還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和,如或.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn),.函數(shù)滿足,且.
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)能否保證和中至少有一個(gè)為正數(shù)?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列兩個(gè)命題:命題p1:a,b∈(0,+∞),當(dāng)a+b=1時(shí), + =4;命題p2:函數(shù)y=ln 是偶函數(shù).則下列命題是真命題的是( )
A.p1∧p2
B.p1∧(¬p2)
C.(¬p1)∨p2
D.(¬p1)∨(¬p2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一段時(shí)間內(nèi),分5次測(cè)得某種商品的價(jià)格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)為:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
價(jià)格x | 1.4 | 1.6 | 1.8 | 2 | 2.2 |
需求量y | 12 | 10 | 7 | 5 | 3 |
已知,
(1)畫出散點(diǎn)圖;
(2)求出y對(duì)x的線性回歸方程;
(3)如價(jià)格定為1.9萬元,預(yù)測(cè)需求量大約是多少?(精確到0.01 t).
參考公式: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),當(dāng)x1 , x2∈(0,+∞)時(shí),都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0.設(shè) ,則( )
A.f(a)>f(b)>f(c)
B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(c)>f(a)>f(b)
D.f(c)>f(b)>f(a)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,點(diǎn)P在底面的射影為點(diǎn)O,PO=3,點(diǎn)E為線段PD中點(diǎn).
(1)求證:PB∥平面AEC;
(2)若點(diǎn)F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn),當(dāng)PA⊥平面BDF時(shí),試確定點(diǎn)F的位置,并求出此時(shí)幾何體F﹣BDC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正整數(shù)數(shù)列中,由1開始依次按如下規(guī)則,將某些數(shù)取出.先取1;再取1后面兩個(gè)偶數(shù)2,4;再取4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9;再取9后面的最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16;再取此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25.按此規(guī)則一直取下去,得到一個(gè)新數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,則在這個(gè)新數(shù)列中,由1開始的第2 019個(gè)數(shù)是( )
A. 3 971B. 3 972C. 3 973D. 3 974
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下面四個(gè)推理:
①由“若是實(shí)數(shù),則”推廣到復(fù)數(shù)中,則有“若是復(fù)數(shù),則”;
②由“在半徑為R的圓內(nèi)接矩形中,正方形的面積最大”類比推出“在半徑為R的球內(nèi)接長方體中,正方體的體積最大”;
③以半徑R為自變量,由“圓面積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是圓的周長函數(shù)”類比推出“球體積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是球的表面積函數(shù)”;
④由“直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)為”類比推出“極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)為”.
其中,推理得到的結(jié)論是正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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