如圖，在四邊形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°且
AB
•
AC
=50．
（I）求sin∠BAD的值；
（II）設△ABD的面積為S△ABD，△BCD的面積為S△BCD，求
S△ABD
S△BCD
的值．
分析：（I）首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC=10，并且得出∠CAD的正弦、余弦，再結合AB=13且
AB
•
AC
=50，計算出∠BAC的正弦、余弦，最后利用兩角和的正弦公式，可以求出sin∠BAD的值；
（II）根據(jù)正弦定理的面積公式，結合（I）中的數(shù)據(jù)分別求出三角形BAD、三角形BAC、三角形ACD的面積，最后求出三角形BCD，最后可以得到所要的兩個三角形的面積的比值．
解答：解：（I）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，
則AC=10，cos∠CAD=
4
5
，sin∠CAD=
3
5
…（1分）
又∵
AB
•
AC
=50，AB=13
∴cos∠BAC=
AB
•
AC
|
AB
 || 
AC
|
=
5
13
…（2分）
∵0＜∠BAC＜180°，
∴sin∠BAC=
12
13
…（4分）
∴sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）
=sin∠BACcos∠CAD+cos∠BACsin∠CAD=
63
65
…（6分）
（II）根據(jù)正弦定理的面積公式，可得
三角形BAD的面積為S△BAD=
1
2
AB•ADsin∠BAD=
252
5
…（8分）
同理，三角形ABC與三角形ACD的面積分別為：
S△BAC=
1
2
AB•ACsin∠BAC=60，S△ACD=24…（10分）
則S△BCD=S△ABC+S△ACD-S△BAD=
168
5

∴
S△ABD
S△BCD
=
3
2
…（12分）
點評：本題著重考查了向量在幾何中的應用，屬于中檔題．解題過程中同時運用了正弦定理的面積公式和向量數(shù)量積的公式，是高考中的常考知識點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四邊形ABCD中，△ABC為邊長等于
3
的正三角形，∠BDC=45°，
∠CBD=75°，求線段AC的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC=
15
3
2
，求AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=6，AD=5，S△ADC=
152
，求AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點B作射線BBl∥AC．動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動．過點D作DH⊥AB于H，過點E作EF⊥AC交射線BB1于F，G是EF中點，連接DG．設點D運動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；
（2）當△DEG與△ACB相似時，求t的值；
（3）以DH所在直線為對稱軸，線段AC經(jīng)軸對稱變換后的圖形為A′C′．
①當t＞
35
時，連接C′C，設四邊形ACC′A′的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式；
②當線段A′C′與射線BB，有公共點時，求t的取值范圍（寫出答案即可）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•青島二模）如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1∥BC，B1C1=
12
BC．
（Ⅰ）求證：面A1AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求證：AB1∥面A1C1C．

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