Question

數(shù)列{a_n}，{b_n}分別滿足an+1=

an

an+2

（n∈N^*），a₁=1
（1）求證數(shù)列{

1

an

+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{n(

1

an

+1)}的前n項和S_n；
（3）若數(shù)列{a_n}的前n項和為K_n，求證：當(dāng)n≥3時，Kn＞

2n

n+1

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)an+1=

an

an+2

，兩邊取倒數(shù)等號也成立，進(jìn)而可得

( 1 an +1)

1 an +1

=2，進(jìn)而推斷數(shù)列{

1

an

+1}為等比數(shù)列，且首項為2，公比為2，進(jìn)而求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可得數(shù)列{n(

1

an

+1)}的通項公式，再利用錯位相減法，求得S_n
（3）由（1）中的a_n可得K_n，又根據(jù)an=

1

2n-1

＞2(

1

n

-

1

n+1

)，代入K_n，即可證明原式．

解答：解：（1）證明：∵an+1=

an

an+2

∴

1 an+1 +1

1 an +1

=

1 an an+2 +1

1 an +1

=

( 1 an +1)

1 an +1

=2
∵數(shù)列{

1

an

+1}是以

1

a1

+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以

1

an

+1=2n可得an=

1

2n-1

（2）由（1）可知n(

1

an

+1)=n•2n，
所以S_n=1•2¹+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減化簡可得，S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹
（3）n≥3，2n=

C

0 n

+

C

1 n

++

C

n n

＜

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=1+n+

n(n-1)

2

=1+

n(n+1)

2

，
可得n≥3，an=

1

2n-1

＞

1

1+ n(n+1) 2 -1

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，此時Kn＞a1+a2+2(

1

3

-

1

4

)+2(

1

4

-

1

5

)++2(

1

n

-

1

n+1

)=1+

1

3

+2(

1

3

-

1

n+1

)=

2n

n+1

點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．