Question

我們知道平面上n條直線最多可將平面分成1+

n(n+1)

2

個(gè)部分，則空間內(nèi)n個(gè)平面最多可將空間分成

1

6

(n3+5n+6)

個(gè)部分．

Answer 1

分析：根據(jù)平面中的幾何元素與空間中幾何元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系：線對(duì)應(yīng)面、面對(duì)應(yīng)體，理解空間是怎么被分割的，找到關(guān)系式，再類比數(shù)列中的累加法即可得解

解答：解：假設(shè)n個(gè)平面可把空間分成f（n）部分，再加上第n+1個(gè)平面后可把空間分成f（n+1）部分，
∵第n+1個(gè)平面與前n個(gè)平面都相交，
∴第n+1個(gè)平面內(nèi)有n交線，且這n條直線最多可把第n+1個(gè)平面分成1+

n(n+1)

2

部分，
又∵平面的每一部分可把它原來所在的空間分成2部分，
∴f（n+1）=f（n）+1+

n(n+1)

2

，
∴f(n+1)-f(n)=1+

n(n+1)

2

=1+

n2

2

+

n

2

，
∴f(2)-f(1)=1+

12

2

+

1

2

，
f(3)-f(2)=1+

22

2

+

2

2

，
…
f(n)-f(n-1)=1+

(n-1)2

2

+

n-1

2

，
上式相加得：f（n）-f（1）=（n-1）+

1

2

×

(n-1)n(2n-1)

6

+

1

2

×

(n-1)n

2

=

n3+5n

6

-1，
∴f(n)=

n3+5n

6

+1=

1

6

(n3+5n+6)
故答案為：

1

6

(n3+5n+6)

點(diǎn)評(píng)：本題考察歸納推理，需要有比較好的抽象思維，同時(shí)考察累加法的應(yīng)用．屬難題