Question

17．如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥FG；
（2）當(dāng)二面角B-PC-D的大小為$\frac{2π}{3}$時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）要證：BD⊥FG，只需證明BD⊥平面PAC，即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PBC的一個法向量和平面PDC的一個法向量，進(jìn)而根據(jù)二面角B-PC-D的大小為$\frac{2π}{3}$，可得變量a值，進(jìn)而根據(jù)∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，可得PC與底面ABCD所成角的正切值．

解答 （1）證明：∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD，AC交于點(diǎn)E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG；
（2）解：以A為原點(diǎn)，AB、AD、PA所在的直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖所示，
設(shè)正方形ABCD的邊長為1，PA=a，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），
設(shè)平面PBC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-a），$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-az=0}\\{y=0}\end{array}\right.$
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（a，0，1），
同理可得平面PDC的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（0，a，1），
設(shè)u，v所成的角為θ，則|cosθ|=|cos$\frac{2π}{3}$|=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}•\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=1，
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，
∴tan∠PCA=$\frac{PA}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間幾何體中的線面關(guān)系，直線與平面所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將直線與平面的關(guān)系，及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解答的關(guān)鍵．