Question

2．在等腰梯形ABCD中，∠A=$\frac{π}{3}$，邊AB、DC的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足|$\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BC}}$|=|$\frac{\overrightarrow{CN}}{\overrightarrow{CD}}$|，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （0，2]
• C． [$\frac{3}{2}$，3]
• D． （$\frac{3}{2}$，2）

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標系．設|$\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BC}}$|=|$\frac{\overrightarrow{CN}}{\overrightarrow{CD}}$|=k，k∈[0，1]．可得$\overrightarrow{BM}$=k$\overrightarrow{BC}$=$（-\frac{k}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}k）$，$\overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CD}$=（-k，0）．利用$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$，可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}（k-2）^{2}+1$=f（k），再利用二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標系．
A（0，0），B（2，0），C$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，D$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{BC}$=$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{CD}$=（-1，0）．
設|$\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BC}}$|=|$\frac{\overrightarrow{CN}}{\overrightarrow{CD}}$|=k，k∈[0，1]．
則$\overrightarrow{BM}$=k$\overrightarrow{BC}$=$（-\frac{k}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}k）$，
$\overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CD}$=（-k，0）．
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=（2，0）+$（-\frac{k}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}k）$=$（\frac{4-k}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}k）$，
$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$=$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$+（-k，0）=$（\frac{3}{2}-k，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$（\frac{4-k}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}k）$•$（\frac{3}{2}-k，\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{4-k}{2}×（\frac{3}{2}-k）$+$\frac{3}{4}k$=$\frac{1}{2}（k-2）^{2}+1$=f（k），
∵f（k）在[0，1]上單調遞減，
∴最小值為f（1）=$\frac{3}{2}$，最大值為f（0）=3．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范圍是$[\frac{3}{2}，3]$．
故選：C．

點評 本題考查了數(shù)量積的運算性質、二次函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．