Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x+2，（其中x∈[t，t+1]，t∈R）的最小值為g（t），最大值為h（t），求g（t），h（t）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 確定對(duì)稱軸x=1，利用對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系分類得出當(dāng)t≥1時(shí)，當(dāng)t≤0時(shí)，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤t＜1時(shí)，
當(dāng)0＜t＜$\frac{1}{2}$時(shí)，結(jié)合單調(diào)性判斷最大值，最小值求解即可．

解答 解；函數(shù)f（x）=x²-2x+2，
對(duì)稱軸x=1，
（1），x∈[t，t+1]，f（x）單調(diào)遞增，
所以最小值為g（t）=f（t）=t²-2t+2，最大值為h（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1，
（2）當(dāng)t≤0時(shí)，x∈[t，t+1]，f（x）單調(diào)遞減，
所以最大值為h（t）=f（t）=t²-2t+2，最小值為g（t）=（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1，
（3）當(dāng)0＜t＜1時(shí)，最小值為g（t）=f（1）=1，
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤t＜1時(shí)，最大值為h（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1．
當(dāng)0＜t＜$\frac{1}{2}$時(shí)，最大值為h（t）=f（t）=t²-2t+2．
綜上：最小值為g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t+2，t≥1}\\{{t}^{2}+1．t≤0}\\{1，0＜t＜1}\end{array}\right.$．最大值為h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+1，t≥\frac{1}{2}}\\{{t}^{2}-2t+2，t≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類思想求解最大值，最小值的問(wèn)題，屬于中檔題，關(guān)鍵判斷對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系．