【題目】已知四棱錐,底面為菱形,,為上的點,過的平面分別交,于點,,且平面.
(1)證明:;
(2)當為的中點,,與平面所成的角為,求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見證明(2)
【解析】
(1)連結、且,連結,先證明平面,可得,再利用線面平行的性質定理證明,從而可得結論;(2)利用(1)可證明平面,利用與平面所成的角為求出線段間的等量關系,以,,分別為,,軸,建立空間直角坐標系,求出,再利用向量垂直數量積為零列方程求出平面的法向量,由空間向量夾角余弦公式可得結果.
(1)
連結、且,連結.
因為,為菱形,所以,,
因為,,所以,,
因為,且、平面,
所以,平面,
因為,平面,所以,,
因為,平面,
且平面平面,
所以,,
所以,.
(2)
由(1)知且,
因為,且為的中點,
所以,,所以,平面,
所以與平面所成的角為,所以,
所以,,,因為,,所以,.
以,,分別為,,軸,如圖所示建立空間直角坐標系
記,所以,,,,,,,,
所以, ,,
記平面的法向量為,所以,即,
令,解得,,所以,,
記與平面所成角為,所以,.
所以,與平面所成角的正弦值為.
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【題目】設、為曲線上兩點,與的橫坐標之和為.
(1)求直線的斜率;
(2)設弦的中點為,過點、分別作拋物線的切線,則兩切線的交點為,過點作直線,交拋物線于、兩點,連接、.證明:.
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【題目】函數(其中)的部分圖象如圖所示,把函數的圖像向右平移個單位長度,再向下平移1個單位,得到函數的圖像.
(1)當時,求的值域
(2)令,若對任意都有恒成立,求的最大值
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數).以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)寫出的普通方程和的直角坐標方程;
(2)設點在上,點在上,求的最小值及此時的直角坐標.
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【題目】沙漏是古代的一種計時裝置,它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,開始時細沙全部在上部容器中,細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖,某沙漏由上下兩個圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為8cm,細沙全部在上部時,其高度為圓錐高度的(細管長度忽略不計).假設該沙漏每秒鐘漏下的沙,且細沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結論正確的是( )
A.沙漏中的細沙體積為
B.沙漏的體積是
C.細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm
D.該沙漏的一個沙時大約是1985秒()
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【題目】已知橢圓過點.
(1)求橢圓的方程,并求其離心率;
(2)過點作軸的垂線,設點為第四象限內一點且在橢圓上(點不在直線上),點關于的對稱點為,直線與交于另一點.設為原點,判斷直線與直線的位置關系,并說明理由.
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【題目】由我國引領的5G時代已經到來,5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務在內的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展,進而對增長產生直接貢獻,并通過產業(yè)間的關聯效應和波及效應,間接帶動國民經濟各行業(yè)的發(fā)展,創(chuàng)造岀更多的經濟增加值.如圖是某單位結合近年數據,對今后幾年的5G經濟產出所做的預測.結合下圖,下列說法正確的是( )
A.5G的發(fā)展帶動今后幾年的總經濟產出逐年增加
B.設備制造商的經濟產出前期增長較快,后期放緩
C.設備制造商在各年的總經濟產出中一直處于領先地位
D.信息服務商與運營商的經濟產出的差距有逐步拉大的趨勢
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【題目】過的直線與拋物線交于,兩點,以,兩點為切點分別作拋物線的切線,,設與交于點.
(1)求;
(2)過,的直線交拋物線于,兩點,證明:,并求四邊形面積的最小值.
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