Question

9．有下列說法：
①函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$為奇函數(shù)；
②若$\frac{cosx}{1-sinx}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{cosx}{1+sinx}$=2；
③定義在R上的函數(shù)f（x）=f（x+2），當x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|，則f（cos3）＞f（sin3）；
④已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2ax，x≤1}\\{ax+1，x＞1}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）∪（2，+∞）．
其中正確說法有①②④（寫出所有正確說法的序號）

Answer 1

分析 對四個命題分別進行判斷，①利用奇函數(shù)的定義；②利用同角三角函數(shù)的關系；③確定當-1≤x≤1時，x+4∈[3，5]，f（x）=f（x+4）=2-|x|；④分類討論，即可得出結論．

解答 解：①函數(shù)的定義域為{x|-2≤x≤2且x≠0}，f（x）=$\frac{\sqrt{{4-x}^{2}}}{x}$為奇函數(shù)，正確；
②若$\frac{cosx}{1-sinx}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{cosx}{1+sinx}$=2，正確；
③∵f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，又當x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|，
∴當-1≤x≤1時，x+4∈[3，5]，∴f（x）=f（x+4）=2-|x|，則f（sin3）=2-sin3＞2-（-cos3）=f（cos3），錯誤；
④若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則說明f（x）在R上不單調．
①當a=0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤1}\\{1，x＞1}\end{array}\right.$滿足題意
其圖象如圖所示，滿足題意

②當a＜0時，函數(shù)y=-x²+2ax的對稱軸x=a＜0，其圖象如圖所示，滿足題意

③當a＞0時，函數(shù)y=-x²+ax的對稱軸x=a＞0，其圖象如圖所示，
要使得f（x）在R上不單調
則只要二次函數(shù)的對稱軸x=a＜1，或$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{-1+2a＞a+1}\end{array}\right.$．
∴0＜a＜1或a＞2，
綜合得：a的取值范圍是（-∞，1）∪（2，+∞），故正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查命題的真假判斷，考查學生分析解決問題的能力，知識綜合性強．