Question

已知函數(shù)f（x）=b•a^x（其中a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點A（1，6），B（3，24）．
（1）試確定f（x）=b•a^x的解析式（即求a，b的值）
（2）若對于任意的x∈（-∞，1]，（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0恒成立，求m的取值范圍；
（3）若g（x）=

cxf(x)

2x(x2-1)

（c≠0，c為常數(shù)），試討論g（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題知6=ba，24=ba³，由此能求出f（x）=3•2^x．
（2）(

1

2

)x+(

1

3

)x-m≥0在（-∞，1]上恒成立，即(

1

2

)x+(

1

3

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，由此利用構(gòu)造法能求出m的取值范圍．
（3）g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1），利用定義法推導(dǎo)出當c＞0時，g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1）單調(diào)遞減；當c＜0時，g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1）單調(diào)遞增．

解答： 解：（1）由題知6=ba，24=ba³，
解得b=3，a=2，
∴f（x）=3•2^x（3分）
（2）(

1

2

)x+(

1

3

)x-m≥0在（-∞，1]上恒成立，
即(

1

2

)x+(

1

3

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，
令h(x)=(

1

2

)x+(

1

3

)x，x∈（-∞，1]，即m≤h（x）_min，（2分）
由于h(x)=(

1

2

)x+(

1

3

)x，x∈（-∞，1]是減函數(shù)，
故h(x)min=h(1)=

5

6

，即m≤

5

6

（2分）
（3）g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1），（1分）
下面證明單調(diào)性．
任取-1＜x₁＜x₂＜1，
則g(x1)-g(x2)=

3cx1

x12-1

-

3cx2

x22-1

=

3c(x2-x1)(x1x2+1)

(x12-1)(x22-1)

，（2分）
由-1＜x₁＜x₂＜1知

3(x2-x1)(x1x2+1)

(x12-1)(x22-1)

＞0，（1分）故
當c＞0時，g（x₁）-g（x₂）＞0，
即g（x₁）＞g（x₂），g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1）單調(diào)遞減；
當c＜0時，g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1）單調(diào)遞增．（2分）

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，解題時要注意函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．