設(shè)橢圓C：
x2
4
+
y2
2
=1的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線為l，一條直線過(guò)點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線l上存在點(diǎn)P，使△ABP為等邊三角形，求直線AB的方程．
分析：設(shè)過(guò)點(diǎn)F的弦AB的中點(diǎn)為M，分別過(guò)A，B，M向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為A1，B1，M1，則|MM1|=
1
2
（|AA1|+|BB1|）=
1
2
（
|AF|
e
+
|BF|
e
）=
1
2
|AB|，又因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形?|PM|=
3
2
|AB|，所以
|MM1|
|MP|
=
6
3
，cos∠PMM1=
6
3
，由此能求出AB的方程．
解答：解：如圖，∵F（-
2
，0），l：x=-2
2
，離心率e=
2
2
．設(shè)過(guò)點(diǎn)F的弦AB的中點(diǎn)為M，分別過(guò)A，B，M向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為A1，B1，M1，則|MM1|=
1
2
（|AA1|+|BB1|）=
1
2
（
|AF|
e
+
|BF|
e
）=
1
2
|AB|，又因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形?|PM|=
3
2
|AB|，所以
|MM1|
|MP|
=
6
3
，


即cos∠PMM1=
6
3
，
∴sin∠PMM1=
3
3
，tam∠PMM1=
2
2
，
又kPM=±tam∠PMM1=±
2
2

∵AB⊥PM，∴kAB=-
1
kPM
=±
2
，
又AB過(guò)點(diǎn)F（-
2
，0），所以AB的方程為y=±
2
（x+
2
）．
即直線AB的方程為：
2
x-y+2=0，或
2
x+y+2=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的基本幾何量的求法，如焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率等．考查直線與圓錐曲線的基本問(wèn)題的研究方法，如弦長(zhǎng)計(jì)算、弦中點(diǎn)坐標(biāo)求法等．考查圓錐曲線的定義的靈活應(yīng)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：
x24
+y2=1的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點(diǎn)M、N；
（I）設(shè)直線AP、BP的斜率分別為k1，k2求證：k1•k2為定值；
（Ⅱ）求線段MN長(zhǎng)的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動(dòng)點(diǎn)Q（m，n）在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鄭州二模）已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P為曲線D上的動(dòng)點(diǎn)，以PF為直徑的圓恒與y軸相切．
（Ⅰ）求曲線D的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的△APM？①點(diǎn)M在橢圓C上；②點(diǎn)O為APM的重心．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（若三角形ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則其重心G的坐標(biāo)為（
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
））

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）如圖1，已知定點(diǎn)F1（-2，0）、F2（2，0），動(dòng)點(diǎn)N滿足|
ON
|=1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
F1M
=2
NM
，
MP
=λ
MF2
（λ∈R），
F1M
•
PN
=0，求點(diǎn)P的軌跡方程．
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（2）如圖2，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓上，且異于點(diǎn)A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點(diǎn)M、N，
（�。┰O(shè)直線AP、BP的斜率分別為k1、k2，求證：k1•k2為定值；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：鄭州二模 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P為曲線D上的動(dòng)點(diǎn)，以PF為直徑的圓恒與y軸相切．
（Ⅰ）求曲線D的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的△APM？①點(diǎn)M在橢圓C上；②點(diǎn)O為APM的重心．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（若三角形ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則其重心G的坐標(biāo)為（
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
））

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