Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2na_n-a_n²+2，a₁=1，n∈N^*，求a₂，a₃，a₄及a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推公式直接進(jìn)行求解，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵a_n+1=2na_n-a_n²+2，
∴a₂=2a₁-a₁²+2、2-1+2=3，
a₃=4a₂-a₂²+2=12-9+2=5，
a₄=6a₃-a₃²+2=30-25+2=7，
故猜想a_n=2n-1，
證明：當(dāng)n=1，a₁=2-1=1，命題成立，
若n=k，命題成立，即a_k=2k-1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=2ka_k-a_k²+2=2k（2k-1）-（2k-1）²+2=4k²-2k-4k²+4k-1+2=2k+1=2（k+1）-1，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，
綜上對(duì)于n∈N^•，a_n=2n-1成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法是解決本題的關(guān)鍵．