Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-3．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{na}_{n}}{{2}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 （1）利用“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”即可得出．
（2）求出b_n=$\frac{{na}_{n}}{{2}^{n}}$的表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3-（2a_n-1-3）=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．
則a_n=3•2^n-1．
（2）b_n=$\frac{{na}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n•3•{2}^{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{3n}{2}$，則數(shù)列{b_n}是公差d=$\frac{3}{2}$的等差數(shù)列，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n=$\frac{（\frac{3}{2}+\frac{3n}{2}）•n}{2}$=$\frac{3}{4}（n+1）n$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解以及數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．