Question

（本題滿分16分）已知在棱長(zhǎng)為的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形的中心，點(diǎn)分別在直線和上．

（1）若分別為棱，的中點(diǎn)，求直線與所成角的余弦值；

 （2）若直線與直線垂直相交，求此時(shí)線段的長(zhǎng)；

 （3）在（2）的條件下，求直線與所確定的平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）以D為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，……3分

設(shè)與所成的角為，

   

則

直線與所成角的余弦值為．……………………………………… 5分

  （2）設(shè)點(diǎn)，則=，=，=，

       即 

……⑴……………………………………………………………………8分

設(shè)直線與直線確定平面，其法向量=，

即，令，得=

設(shè)直線與直線確定平面，其法向量=，

即，令，得=

與直線相交，∥  =，……………⑵…………11分

由⑴ ⑵聯(lián)立方程組    解得，，

，… 13分

（本小問(wèn)也可落實(shí)三條直線共面的條件得到點(diǎn)坐標(biāo)）

（3）由（2）得=，平面的法向量=，=

直線與所確定的平面與平面所成的銳二面角的余弦值為

……………………………………………………………………………………… 16分