Question

5．已知點F是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，點A（m，2）在拋物線C上，且AF=2
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知點G（-1，0），過點F的直線交拋物線于M、N兩點，求證：∠MGF=∠NGF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AF=2，求得m=2-$\frac{p}{2}$．再把點A（m，2）代入拋物線C的方程，求得p的值，可得拋物線C的方程．
（2）設MN的方程為y-0=k（x-1），代入拋物線C：y²=4x，利用韋達定理．要證∠MGF=∠NGF，只要證GM、GN的斜率相反即可．再根據(jù)GM、GN斜率之和為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$，利用韋達定理求得它為零，從而證得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得F（$\frac{p}{2}$，0），AF=2=m-（-$\frac{p}{2}$）=m+$\frac{p}{2}$，即m=2-$\frac{p}{2}$．
再把點A（m，2）代入拋物線C：y²=2px，可得4=2p（2-$\frac{p}{2}$），求得p=2，
故拋物線C的方程：y²=4x，故焦點F（1，0）．
（2）設MN的方程為y-0=k（x-1），即 y=kx-k，代入拋物線C：y²=4x 可得k²•x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{2k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1．
要證∠MGF=∠NGF，只要證GM、GN的斜率相反即可，即GM、GN斜率之和等于零．
再根據(jù)GM、GN斜率之和為 $\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{kx}_{1}-k}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{kx}_{2}-k}{{x}_{2}+1}$=$\frac{k{（x}_{1}-1）{（x}_{2}+1）+k{（x}_{2}-1）{（x}_{1}+1）}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$=$\frac{2k{（x}_{1}{•x}_{2}-1）}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$=0，
故∠MGF=∠NGF成立．

點評 本題主要考查拋物線的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系，韋達定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．