Question

13．已知函數(shù)y=f（x），對(duì)于任意的x$∈[0，\frac{π}{2}）$滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，則下列不等式中成立的有②③④．
①$\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）$＜f（$\frac{π}{4}$） ②$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$） ③f（0）$＜\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$） ④f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，x$∈[0，\frac{π}{2}）$，可得函數(shù)F（x）在x$∈[0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，x$∈[0，\frac{π}{2}）$，
則F′（x）=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{co{s}^{2}x}$＞0，
∴函數(shù)F（x）在x$∈[0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增，
∴F（$\frac{π}{3}$）＞F（$\frac{π}{4}$），即2f（$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），可得$\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）$＞f（$\frac{π}{4}$），①錯(cuò)誤；
同理可得F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{4}$），即$\frac{2}{\sqrt{3}}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），可得$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$），②正確；
同理F（0）＜F（$\frac{π}{4}$），即f（0）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），③正確；
同理F（$\frac{π}{6}$）＜F（$\frac{π}{3}$），即$\frac{2}{\sqrt{3}}$f（$\frac{π}{6}$）＜2f（$\frac{π}{3}$），可得f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$），④正確．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用單調(diào)性比較大小，熟記商的導(dǎo)數(shù)公式，以之構(gòu)造出相應(yīng)函數(shù)是解答的關(guān)鍵，屬中檔題．