Question

分析方程sinx-cos²x+a=0在x∈[0，2π）的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：首先根據(jù)sinx-cos²x+a=0，可得a=-sinx+cos²x=

5

4

-(sinx+

1

2

)2，令f（x）=

5

4

-(sinx+

1

2

)2；然后畫(huà)出函數(shù)f（x）=

5

4

-(sinx+

1

2

)2的圖象，最后根據(jù)a的取值判斷函數(shù)與直線的公共點(diǎn)的情況，進(jìn)而判斷出方程sinx-cos²x+a=0在x∈[0，2π）的解的個(gè)數(shù)即可．

解答： 解：根據(jù)sinx-cos²x+a=0，
可得a=-sinx+cos²x=

5

4

-(sinx+

1

2

)2，
令f（x）=

5

4

-(sinx+

1

2

)2，畫(huà)出函數(shù)f（x）=

5

4

-(sinx+

1

2

)2的圖象如下：

①a＜-1或a＞

5

4

時(shí)，方程無(wú)解；
②a=-1時(shí)，方程有1個(gè)解；
③-1＜a＜-1或a=

5

4

時(shí)，方程有2個(gè)解；
④1≤a＜

5

4

時(shí)，方程有4個(gè)解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根的存在性以及根的個(gè)數(shù)判斷，以及函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合法的運(yùn)用，屬于中檔題，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，它能使使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．