Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|lg（x+1）|，滿足f（a）=f（-

b+1

b+2

），f[10（a+1）+6（b+2）-1]=4lg2，其中a，b∈R，且a＜b，則a+b的值為（　　）

• A、0
• B、

  1

  15

• C、-

  11

  15

• D、-1

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（a）=f（-

b+1

b+2

），代入函數(shù)解析式得到a、b的關(guān)系，化簡f[10（a+1）+6（b+2）-1]=4lg2，求出一個(gè)字母的值，從而求出另一個(gè)字母的值．

解答： 解：∵f（x）=|lg（x+1）|，且f（a）=f（-

b+1

b+2

），
∴|lg（a+1）|=|lg（-

b+1

b+2

+1）|=|lg

1

b+2

|=|lg（b+2）|，
∴a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1；
又∵a＜b，∴a+1≠b+2，
∴（a+1）（b+2）=1；
又∵f（a）=|lg（a+1）|有意義，
∴a+1＞0，從而0＜a+1＜b+1＜b+2，
∴0＜a+1＜1＜b+2；
∴10（a+1）+6（b+2）-1=

10

b+2

+6（b+2）-1≥2

10 b+2 •6(b+2)

-1=2

60

-1＞1；
∴f[10（a+1）+6（b+2）-1]=lg[10（a+1）+6（b+2）]=4lg2，
即lg[

10

b+2

+6（b+2）]=lg2⁴，
∴

10

b+2

+6（b+2）=16；
解得b+2=

5

3

，或b+2=1（舍去），
∴b=-

1

3

；
又a+1=

1

b+2

=

3

5

，
∴a=-

2

5

，
∴a+b=-

11

15

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的問題以及數(shù)學(xué)替換思想，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出a和b的關(guān)系，把一個(gè)字母用另一個(gè)字母代替，是易錯(cuò)題．