Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個實數(shù)p，q，且p≠q，不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、[15，+∞）
• B、（-∞，15]
• C、（12，30]
• D、（-12，15]

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，由

f(p+1)-f(q+1)

p-q

的幾何意義，得到直線的斜率，然后，得到函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，從而得到f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）內(nèi)恒成立．分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化成 a＞2x²+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．從而求解得到a的取值范圍．

解答： 解：∵

f(p+1)-f(q+1)

p-q

的幾何意義為：
表示點（p+1，f（p+1）） 與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實數(shù)p，q在區(qū)間（0，1）內(nèi)，故p+1 和q+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．
不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在（1，2）內(nèi)恒成立．
由函數(shù)的定義域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＞1 在（1，2）內(nèi)恒成立．
即 a＞2x²+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．
由于二次函數(shù)y=2x²+3x+1在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
故 x=2時，y=2x²+3x+1在[1，2]上取最大值為15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故選A．

點評：本題重點考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的幾何性質(zhì)等知識，注意分離參數(shù)在求解中的靈活運用，屬于中檔題．