Question

求證：對任意的n∈N^*，不等式ln

n+2

2

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

都成立．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+x-ln（1+x），利用導(dǎo)數(shù)證明x²+x≥ln（1+x），利用放縮法即可證明不等式．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+x-ln（1+x），x≥0，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+1-

1

x+1

=

x(2x+3)

x+1

，
當(dāng)x≥0時，f′（x）≥0，則函數(shù)單調(diào)遞增，
則f（x）≥f（0）=0，
故x²+x≥ln（1+x），x≥0，
令x=

1

n

，得（

1

n

）²+

1

n

≥ln（1+

1

n

）=ln（1+n）-lnn，
即

1

n(n-1)

+

1

n

＞（

1

n

）²+

1

n

≥ln（1+n）-lnn，
從而

1

n(n-1)

＞ln（1+n）-lnn，
分別令n=2，3，4，…n，
則1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞ln3-ln2+ln4-ln3+…+ln（1+n）-lnn=ln（n+1）-ln2=ln

n+2

2

，
故ln

n+2

2

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

都成立．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的證明，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．