Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，
（1）求f（1），f（），f（9）的值，
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對題設(shè)條件中的恒等式進(jìn)行賦值，依次可求出f（1），f（），f（9）的值
（2）利用題設(shè)條件將f（x）+f（2-x）＜2這為f[x（2-x）]＜f（），再利用函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)解不等式．
解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（2分）
令x=3，y=，則f（1）=f（3）+f（），∴f（3）=-1
∴f（）=f（）=f（）+f（）=2（4分）
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=-2（6分）
（2）∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（），（8分）
又由函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)得：（11分）
解之得：．（13分）
點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查了根據(jù)恒等式的形式以及要求的值靈活賦值求函數(shù)值的能力，以及利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式的能力，求解本題的關(guān)鍵是恰當(dāng)賦值，求解第二問時(shí)恰當(dāng)?shù)淖冃问墙忸}的關(guān)鍵，在根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的造價(jià)，不要忘記定義域的限制條件．