Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的頂點(diǎn)為A₁，A₂，B₁，B₂，焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，|A₁B₂|=

7

，S?A1B1A2B2=2S ?B1F1B2F2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線m過Q（1，1），且與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)Q是MN的中點(diǎn)時(shí)，求直線m的方程．
（Ⅲ）設(shè)n為過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)A，B的直線，|

OP

|=1，是否存在上述直線l使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意可知a²+b²=7，a=2c，由此能夠求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為y=k（x-1）+1，利用點(diǎn)差法，結(jié)合Q是MN的中點(diǎn)，即可求直線m的方程；
（Ⅲ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設(shè)使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)成立的直線l存在，則以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
（i）當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件能夠推出直線l不存在．
（ii）當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足|

OP

|=1的直線l的方程為x=1或x=-1，由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

3

2

），（1，-

3

2

）或（-1，

3

2

），（-1，-

3

2

）．當(dāng)x=1時(shí)

OA

•

OB

=（1，

3

2

）•（1，-

3

2

）=-

5

4

≠0．當(dāng)x=-1時(shí)，

OA

•

OB

=（-1，

3

2

）•（-1，-

3

2

）=-

5

4

≠0．所以此時(shí)直線l也不存在．

解答： 解：（Ⅰ）依題意有|A1B2|=

a2+b2

=

7，

∴a²+b²=7…（1分）
又由S_□A₁B₁A₂B₂=2S_□B₁F₁B₂F₂．有2a•b=2•2c•b，∴a=2c…（2分）
解得a²=4，b²=3，…（3分），
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為y=k（x-1）+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
兩式相減得：k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

．
∵Q是MN的中點(diǎn)，
∴可得直線m的斜率為k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，（7分）
當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，將x=1代入橢圓方程并解得M(1，

3

2

)，N(1，-

3

2

)，
這時(shí)MN的中點(diǎn)為（1，0），
∴x=1不符合題設(shè)要求．…（8分）
綜上，直線m的方程為3x+4y-7=0…（9分）
（Ⅲ）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），假設(shè)滿足題設(shè)的直線l存在，
（i）當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點(diǎn)且|

OP

|=1得

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1，…（10分）
又∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
將y=kx+m代入橢圓方程，得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0，
由求根公式可得x1+x2=

-8km

3+4k2

，④x1x2=

4m2-12

3+4k2

．⑤
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，
將④，⑤代入上式并化簡(jiǎn)得（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，⑥
將m²=1+k²代入⑥并化簡(jiǎn)得-5（k²+1）=0，矛盾．
即此時(shí)直線l不存在．…（12分）
（ii）當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，滿足|

OP

|=1的直線l的方程為x=1或x=-1，
由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

3

2

），（1，-

3

2

）或（-1，

3

2

），（-1，-

3

2

）．
當(dāng)x=1時(shí)，

OA

•

OB

=（1，

3

2

）•（1，-

3

2

）=-

5

4

≠0，
當(dāng)x=-1時(shí)，

OA

•

OB

=（-1，

3

2

）•（-1，-

3

2

）=-

5

4

≠0．
∴此時(shí)直線l也不存在．
綜上所述，使

OA

•

OB

=0成立的直線l不成立，即不存在直線l使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，有難度．