Question

已知f（x）=xlnx，．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)y=g（x）在[0，3]上的值域；
（2）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=2時，g（x）=，x∈[0，3]，
當(dāng)x=1時，；當(dāng)x=3時，，
故g（x）值域為．
（2）f'（x）=lnx+1，當(dāng)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
①若 ，t無解；
②若 ，即時，；
③若 ，即時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
所以 f（x）_min=．
（3）證明：令 h（x）==-，h′（x）=，
當(dāng) 0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)．當(dāng)1＜x時． h′（x）＞0，h（x）是減函數(shù)，
故h（x） 在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-．
而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值為-，
且當(dāng)h（x） 在（0，+∞）上的最大值為h（1）時，f（x）的值為ln1=0，
故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即 ．
分析：（1）當(dāng)a=2時，由g（x）=，x∈[0，3]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的值域．
（2）利用函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)的符號，分類討論f（x）單調(diào)性，從而求出f（x）的最小值．
（3）令 h（x）==-，通過 h′（x）= 的符號研究h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的最大值為h（1）=-．再由f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值為-，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即 ．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．