Question

（Ⅰ）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求

1

x

+

4

y

的最小值；
（Ⅱ）設(shè)0＜x＜2，求函數(shù)y=3

x(2-x)

的最大值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把

1

x

+

4

y

轉(zhuǎn)化為（x+y）（

1

x

+

4

y

），展開后利用基本不等式求得最值．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍判斷出2-x＞0，進而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得y的最大值．

解答： （Ⅰ）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，
則

1

x

+

4

y

=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=

y

x

+

4x

y

+5≥9，
當(dāng)且僅當(dāng)y=2x，即x=

1

3

，y=

2

3

時，

1

x

+

4

y

取得最小值9．
（Ⅱ）0＜x＜2，則2-x＞0，
函數(shù)y=3

x(2-x)

≤3•

x+2-x

2

=3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，y取得最大值3．

點評：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用．基本不等式是解決最值問題時常用的方法，但要特別注意等號條件的滿足．