Question

2．已知平面上一定點(diǎn)C（2，0）和直線l：x=8，P為該平面上一點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為點(diǎn)Q，且（$\overrightarrow{PC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$）•（$\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$）=0，則點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離的最大值是6．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），則Q（8，y），利用（$\overrightarrow{PC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$）•（$\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$）=0，可得${\overrightarrow{PC}}^{2}$-$\frac{1}{4}{\overrightarrow{PQ}}^{2}$=0，化為：3x²+4y²=48．-4≤x≤4．可得$|\overrightarrow{PC}|$=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+12-\frac{3}{4}{x}^{2}}$，即可得出．

解答 解：設(shè)P（x，y），則Q（8，y），∴$\overrightarrow{PC}$=（2-x，-y），$\overrightarrow{PQ}$=（8-x，0）．
∵（$\overrightarrow{PC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$）•（$\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$）=0，
∴${\overrightarrow{PC}}^{2}$-$\frac{1}{4}{\overrightarrow{PQ}}^{2}$=0，
∴（2-x）²+y²=$\frac{1}{4}$（8-x）²，
化為：3x²+4y²=48．
∴-4≤x≤4．
∴$|\overrightarrow{PC}|$=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+12-\frac{3}{4}{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}|x-8|$≤$\frac{1}{2}|-4-8|$=6，
∴點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離的最大值是6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．