某市2009年初擁有汽車40萬量,每年年終將有當年汽車總量的5%報廢,在第二年年初又將有一部分新車上牌,但為了保持該市空氣質量,需要該市的汽車擁有量不超過60萬量,故該市采取限制新上牌車輛數的措施進行控制,所以該市每年只有b萬輛新上牌車.
(1)求第n年年初該市車輛總數an(2010年為第一年);
(2)當b=4時,試問該項措施能否有效?若有效,說明理由;若無效,請指出哪一年初開始無效.
(參考數據:lg2=0.30,lg3=0.48,lg19=1.28,lg21=1.32)
分析:(1)依題意知
an-20b=(an-1-20b),由此可知
an-20b=(38-19b)()n-1,所以
an=19(2-b)()n-1+20b.
(2)當b=4時,
an=-38()n-1+80.若第n年初無效,則
-38()n-1+80>60,解得n>15,所以n≥16,則第16年初開始無效.即2025年初開始無效.
解答:解:(1)依題意,
a1=40×+b=38+b,an=an-1+b(n≥2)即
an-20b=(an-1-20b),故可得
an-20b=(38-19b)()n-1∴
an=19(2-b)()n-1+20b;
(2)當b=4時,
an=-38()n-1+80.若第n年初無效,則
-38()n-1+80>60解得
n>===15所以n≥16,則第16年初開始無效.即2025年初開始無效.
點評:本題考查數列的性質和應用,解題時要認真審題,注意計算能力的培養(yǎng).