【題目】如圖所示,在四棱錐E-ABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,△BCE是等邊三角形,△ABE是等腰直角三角形,∠BAE=90°,且AC=BC.
(1)證明:平面ABE⊥平面BCE;
(2)求二面角A-DE-C的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)證明:設(shè)O為BE的中點,連接AO,CO,證得AO⊥BE,CO⊥BE和AO⊥CO,利用面面垂直的判定定理,即可證明;
(2)由(1)可知AO,BE,CO兩兩垂直,以O為坐標(biāo)原點,OE,OC,OA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求解平面ADE和平面DEC的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.
(1)證明:設(shè)O為BE的中點,連接AO,CO,易知AO⊥BE,CO⊥BE.設(shè)AC=BC=2,則AO=1,CO=,可得AO2+CO2=AC2,所以AO⊥CO.又AO∩BE=O,所以CO⊥平面ABE.
又CO平面BCE,故平面ABE⊥平面BCE.
(2)由(1)可知AO,BE,CO兩兩垂直,
設(shè)OE=1,以O為坐標(biāo)原點,OE,OC,OA分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(0,0,1),E(1,0,0),C(0,,0),易得D(1,,1),故=(1,,0),=(1,0,-1),
=(-1,,0),=(1,0,1).設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則即令y1=1,可得n=(-,1,-).設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面DEC的法向量,則即令y2=1,可得m=(,1,-),則cos<n,m>==.
易知二面角A-DE-C為銳角,所以二面角A-DE-C的余弦值為.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx﹣ )﹣2cos2 +1(ω>0),直線y= 與函數(shù)f(x)的圖象相鄰兩交點的距離為π.
(1)求ω的值;
(2)在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若點( ,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心,求sinA+sinC的取值范圍.
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【題目】已知復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A(-2,1),B(a,3).
(1)若|z1-z2|=,求a的值;
(2)復(fù)數(shù)z=z1·z2對應(yīng)的點在第一、三象限的角平分線上,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若根據(jù)10名兒童的年齡x(歲)和體重y(kg)數(shù)據(jù)用最小二乘法得到用年齡預(yù)報體重的回歸方程是=2x+7.已知這10名兒童的年齡分別是2歲、3歲、3歲、5歲、2歲、6歲、7歲、3歲、4歲、5歲,則這10名兒童的平均體重大約是( )
A. 14 kg B. 15 kg
C. 16 kg D. 17 kg
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)= (f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)),若方程g(f(x))=0有四個不等的實根,則a的取值范圍是 .
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓 =1(a>b>0)的離心率為 ,長軸長為4,過橢圓的左頂點A作直線l,分別交橢圓和圓x2+y2=a2于相異兩點P,Q.
(1)若直線l的斜率為 ,求 的值;
(2)若 =λ ,求實數(shù)λ的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為 .若直線l與曲線C交于A,B,求線段AB的長.
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【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點.
(1)證明:AE⊥PD;
(2)若AB=2,PA=2,求二面角E-AF-C的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,直線y= x為曲線y=f(x)的切線(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函數(shù)h(x)=g(x)﹣cx2為增函數(shù),求實數(shù)c的取值范圍.
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