【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓 =1(a>b>0)的離心率為 ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作直線l,分別交橢圓和圓x2+y2=a2于相異兩點(diǎn)P,Q.

(1)若直線l的斜率為 ,求 的值;
(2)若 ,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

【答案】
(1)解:由條件可得,2a=4,e= = ,a2﹣b2=c2

解得a=2,b=c=

可得橢圓的方程為 ,圓的方程為x2+y2=4;

(方法一)直線l的方程為 ,由 得:3x2+4x﹣4=0,

解得 ,所以

所以 ,又因?yàn)樵c(diǎn)O到直線l的距離 ,

所以 ,

所以

(方法二)由 得3y2﹣4y=0,所以yP= ,

可得5y2﹣8y=0,解得yQ= ,

所以 = = × =


(2)解:(方法一)若 ,則λ= ﹣1,

設(shè)直線l:y=k(x+2),由 得,(2k2+1)x2+8k2﹣4=0,

即(x+2)[(2k2+1)x+(4k2﹣2)]=0,

所以 ,得 ;

所以 ,

,同理Q( , ),

即有λ= ﹣1=1﹣ ,

由k2>0,可得0<k2<1.

(方法二)由方法一可得,λ= ﹣1= ﹣1= ﹣1=1﹣

由題意:k2>0,所以0<λ<1


【解析】(1)由題意可得a=2,運(yùn)用離心率公式和a,b,c的關(guān)系可得b,c,進(jìn)而得到橢圓方程和圓的方程,設(shè)出直線l的方程代入橢圓方程,求得弦長(zhǎng)AP,運(yùn)用圓的弦長(zhǎng)公式可AQ,進(jìn)而所求之比;或聯(lián)立直線的方程和橢圓方程(或圓的方程)求得P,Q的縱坐標(biāo),即可得到所求之比;(2)若 ,則 ,設(shè)直線l:y=k(x+2),代入橢圓方程,求得交點(diǎn),以及弦長(zhǎng)AP,代入圓方程可得交點(diǎn),可得弦長(zhǎng)AQ,可得實(shí)數(shù)λ的式子,運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得到所求范圍;或?qū)⒅本方程代入橢圓方程(圓方程)求得P,Q的縱坐標(biāo),由坐標(biāo)之比,結(jié)合不等式的性質(zhì),即可得到所求范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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學(xué)生編號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

入學(xué)成績(jī)x(分)

63

67

45

88

81

71

52

99

58

76

高一期末

成績(jī)y(分)

65

78

52

82

92

89

73

98

56

75

(1)求相關(guān)系數(shù)r;

(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程;

(3)若某學(xué)生入學(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分,試估計(jì)他高一期末的數(shù)學(xué)成績(jī).

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A. B. C. D.

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(2)求證:MA⊥MB;

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