Question

在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知

3

2

sin2A=sinCcosB+sinBcosC．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，cosB+cosC=

2 3

3

，求邊c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式左邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，右邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)sinA不為0求出cosA的值，即可確定出sinA的值；
（2）已知等式左邊利用誘導(dǎo)公式變形后，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，表示出cosC，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinC與cosC的值，由a，sinA，以及sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（1）由

3

2

sin2A=sinCcosB+sinBcosC，變形得：3sinAcosA=sin（C+B）=sinA，
∵sinA≠0，∴3cosA=1，即cosA=

1

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

；
（2）由cosB+cosC=

2 3

3

得：-cos（A+C）+cosC=

2 3

3

，
整理得：sinAsinC-cosAcosC+cosC=

2 3

3

，
∴

2 2

3

sinC+

2

3

cosC=

2 3

3

，
整理得：

2

sinC+cosC=

3

，即cosC=

3

-

2

sinC，
與sin²C+cos²C=1聯(lián)立得：sinC=

6

3

，cosC=

3

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=

1× 6 3

2 2 3

=

3

2

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．