Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1•a_n=2ⁿ，求a_n．

Answer 1

分析 取n=n+1 得另一遞推式，作比后可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，然后分段求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

解答 解：∵a₁=3 a_n+1•a_n=2ⁿ，
取n=1得，${a}_{2}=\frac{2}{3}$．
由a_n+1•a_n=2ⁿ ①
得${a}_{n+2}•{a}_{n+1}={2}^{n+1}$ ②
②÷①得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=2$．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以$\frac{2}{3}$為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，${a}_{n}=3×{2}^{\frac{n-1}{2}}$；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，${a}_{n}=\frac{2}{3}×{2}^{\frac{n}{2}-1}$=$\frac{1}{3}×{2}^{\frac{n}{2}}$．
綜上，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3×{2}^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{3}×{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．