Question

【題目】隨著創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略的不斷深入實施，高新技術(shù)企業(yè)在科技創(chuàng)新和經(jīng)濟發(fā)展中的帶動作用日益凸顯，某能源科學(xué)技術(shù)開發(fā)中心擬投資開發(fā)某新型能源產(chǎn)品，估計能獲得萬元的投資收益，現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵議案：獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，獎金不超過萬元，同時獎金不超過投資收益的.（即：設(shè)獎勵方案函數(shù)模擬為時，則公司對函數(shù)模型的基本要求是：當(dāng)時，①是增函數(shù)；②恒成立；③恒成立.）

（1）現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：（I）；（II）.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求？

（2）已知函數(shù)符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)（I）不符合公司要求；（II）模型符合公司要求；(2)

【解析】

(1)分別判斷兩個函數(shù)模型是否滿足三個條件即可.

(2)由題意得函數(shù)滿足三個條件，利用函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式可求得的取值范圍.

（1）對于函數(shù)模型（I）：因為，即函數(shù)（I）不符合條件③，

所以函數(shù)模型（I）不符合公司要求.

對于函數(shù)模型（II）：當(dāng)時，是增函數(shù)，

且，所以恒成立.

設(shè)，因為，

所以當(dāng)時，.

所以恒成立.

所以函數(shù)模型（II）符合公司要求.

（2）因為，所以函數(shù)滿足條件①.

由函數(shù)滿足條件②得：，所以.

由函數(shù)滿足條件③得：對恒成立，

即對恒成立，因為，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.