Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）問側(cè)棱PC上是否存在異于端點的一點E，使得二面角E-BD-P的余弦值為

6

3

．若存在，試確定點E的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）由

PC

=（0，2，-1），又

PE

=λ

PC

且λ∈（0，1），設(shè)E（x₀，y₀，z₀），可得

DE

=（0，2λ，1-λ），設(shè)平面EBD的法向量為

n

=（a，b，c），令a=-1，則可得平面EBD的一個法向量為

n

=（-1，1，

2λ

λ-1

），而平面PDB的法向量即為

BC

=(-1，1，0)，可得

6

3

=|

n • BC

| n || BC |

|，即可解得λ的值，從而得解．

解答： 解：（Ⅰ）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1），

DB

=（1，1，0）．

BC

=（-1，1，0）
所以

DB

•

BC

=0，所以BC⊥BD，
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩DB=D，
所以BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）因為

PC

=（0，2，-1），又

PE

=λ

PC

且λ∈（0，1），設(shè)E（x₀，y₀，z₀），
則（x₀，y₀，z₀-1）=（0，2λ，-λ），
所以，E（0，2λ，1-λ），即

DE

=（0，2λ，1-λ），．…（6分）
設(shè)平面EBD的法向量為

n

=（a，b，c），
因為

DB

=（1，1，0），由

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
得

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

，
令a=-1，則可得平面EBD的一個法向量為

n

=（-1，1，

2λ

λ-1

）…（9分）
而平面PDB的法向量即為

BC

=(-1，1，0)…（10分）
所以，

6

3

=|

n • BC

| n || BC |

|=

2

2 × 1+1+( 2λ λ-2 )2

，
解得λ=

1

3

或λ=-1，…（11分）
又由題意知λ∈（0，1），故λ=

1

3

，即點E在靠近點P的三等分處．…（12分）

點評：本題主要考查空間直線和平面，平行和垂直的判定，以及空間二面角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理以及空間向量與二面角的關(guān)系，屬于中檔題．