Question

某市現(xiàn)有自市中心O通往正西和東北方向的兩條主要公路，為了解決交通擁擠問題，市政府決定修一條環(huán)城路，分別在通往正西和東北方向的公路上選取A、B兩點，使環(huán)城公路在A、B間為線段，要求AB環(huán)城路段與中心O的距離為10 km，且使A、B間的距離|AB|最小，請你確定A、B兩點的最佳位置（不要求作近似計算）

Answer 1

【答案】分析：先以O(shè)為原點，正東方向為x軸的正半軸，正北方向為y軸的正半軸，建立直角坐標系．設(shè)A（-a，0）、B（b，b），則可得直線AB的方程，再根據(jù)點到直線的距離公式可得a²b²=100（a²+2b²+2ab），進而求得ab的范圍，再根據(jù)兩點間的距離求得|AB|=，進而可得|AB|的范圍及最小值．當|AB|取最小值時可求得a，b的值，進而求出|OA|和|OB|，確定A，B的位置．
解答：解：以O(shè)為原點，正東方向為x軸的正半軸，正北方向為y軸的正半軸，建立如下圖所示的坐標系．
設(shè)A（-a，0）、B（b，b）（其中a＞0，b＞0），
則AB的方程為y=，
即bx-（a+b）y+ab=0．
∴a²b²=100（a²+2b²+2ab）≥100（2+2ab）
=200（1+）ab．
∵ab＞0，
∴ab≥200（+1）．
當且僅當“a²=2b²”時等號成立，
而|AB|==，
∴|AB|≥20（+1）．
當a²=2b²，
ab=10，
時，|AB|取最小值，
即a=10，
b=10
此時|OA|=a=10，
|OB|=10，
∴A、B兩點的最佳位置是離市中心O均為10km處．
點評：本題主要考查了平面幾何的性質(zhì)在實際中的應用．要熟練掌握點與直線、直線與直線、直線與曲線的關(guān)系．