Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{2x-1}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若a=1，試判斷f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域．
（2）若a=1，結(jié)合分式函數(shù)的單調(diào)性即可試判斷f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，結(jié)合分式函數(shù)的單調(diào)性即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由2x-1≠0得x≠$\frac{1}{2}$，即函數(shù)的定義域為{x|x≠$\frac{1}{2}$}；
（2）若a=1，f（x）=$\frac{ax+1}{2x-1}$=$\frac{x+1}{2x-1}$=$\frac{\frac{1}{2}（2x-1）+\frac{1}{2}}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}}{2x-1}$．
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
（3）f（x）=$\frac{ax+1}{2x-1}$=$\frac{\frac{a}{2}（2x-1）+1-\frac{a}{2}}{2x-1}$=$\frac{a}{2}$+$\frac{1-\frac{a}{2}}{2x-1}$，
若函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
則1-$\frac{a}{2}$＜0，即a＞2，
即實數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)定義域和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用分式函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．