Question

已知在數(shù)列{a_n}中，，S_n是其前n項(xiàng)和，且S_n=n²a_n-n（n-1）．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）令b_n=（n+1）（1-a_n），記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
①求證：當(dāng)n≥2時(shí)，；
②）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，．

Answer 1

解：（1）由條件可得S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），（n²-1）S_n-n²S=n（n-1）
兩邊同除以n（n-1），得：
所以：數(shù)列成等差數(shù)列，且首項(xiàng)和公差均為（14分）
（2）由（1）可得：，，代入S_n=n²a_n-n（n-1）可得，所以，．（6分）
①當(dāng)n≥2時(shí)，
平方則
疊加得∴
又
=∴（9分）
②當(dāng)n=2時(shí)，即n=2時(shí)命題成立
假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)命題成立，即
當(dāng)n=k+1時(shí)，
=即n=k+1時(shí)命題也成立
綜上，對(duì)于任意n≥2，（14分）
分析：（1）由題設(shè)知S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），（n²-1）S_n-n²S=n（n-1），兩邊同除以n（n-1），得，由此能夠證明數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）由，代入S_n=n²a_n-n（n-1），得，故，．
①，，平方，
再由疊加法能夠得到當(dāng)n≥2時(shí)，；
②當(dāng)n=2時(shí)，即n=2時(shí)命題成立，由數(shù)學(xué)歸納法能夠證明對(duì)于任意n≥2，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．