Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[1，\frac{3}{2}）}\\{{2^{x-2}}+1，x∈[\frac{3}{2}，3）}\end{array}}$．若存在x₁，x₂，當1≤x₁＜x₂＜3時，f（x₁）=f（x₂），則$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$的取值范圍是（$\frac{4}{3}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）的圖象，結合圖象可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$≤x₁＜$\frac{3}{2}$；化簡$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{2}}{{x}_{1}}$=1+$\frac{1}{2{x}_{1}}$；從而求取值范圍．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[1，\frac{3}{2}）}\\{{2^{x-2}}+1，x∈[\frac{3}{2}，3）}\end{array}}$的圖象如下，

f（$\frac{3}{2}$）=${2}^{（\frac{3}{2}-2）}$+1=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故令x+$\frac{1}{2}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$得，x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$；
故$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$≤x₁＜$\frac{3}{2}$；
又∵$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{2}}{{x}_{1}}$=1+$\frac{1}{2{x}_{1}}$；
$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2{x}_{1}}$≤$\frac{1}{2（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{4}{3}$＜1+$\frac{1}{2{x}_{1}}$≤$\sqrt{2}$；
故答案為：（$\frac{4}{3}$，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應用及數(shù)形結合的思想應用，屬于中檔題．